METODE POHON BINOMIAL

A. Pengertian Pohon Binomial

Metode Pohon Binomial menyediakan sarana sederhana 

untuk nilai opsi Amerika. Harga aset model diskrit 

dan suku bunga bebas resiko merupakan dua hal kunci

 yang mendasari metode ini.

Metode pohon binomial adalah metode yang dapat

 digunakan untuk menentukan harga opsi. Metode 

ini didasarkan pada asumsi bahwa harga saham pokok 

(the underlying asset price) hanya dapat naik atau

 turun saja. Pada waktu t=0, harga saham adalah S.

 Dalam selang waktu ∆t, harga saham dapat naik

 menjadi menjadi Su dengan kemungkinan p atau 

turun menjadi Sd dengan kemungkinan q=1-p,

 dimana u>1 dan <1.

                                             

B. Variansi

Nilai harapan suatu peubah acak X mempunyai peran 

khusus dalam statistika karena menggambarkan letak

 pusat distribusi peluang. Karena pentingnya dalam

 statistika maka diberi nama variansi peubah acak X

 atau variansi distribusi peluang X dan dinyatakan 

dengan Var(X) atau symbol σ_x^2 atau cuma σ^2. 

Definisi

Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang f(x) 

dan rataan µ. Variansi X adalah

σ^2=E[〖(X-μ)〗^2 ]=∑_x▒〖〖(x-μ)〗^2 f(x)〗

bila X diskrit. Akar positif variansi σ 

disebut simpangan baku X.



C. Model Diskrit

Model dari metode pohon binomial ialah model diskrit

yang memulai proses dari diskritisasi waktu T yang 

kontinu. Metode pohon binomial mengubah  T yang 

kontinu menjadi waktu t yang mengandung unsur diskrit i. 

Agar menghasilkan i yang mendekati kontinu, 

selang waktu [0, T] dibagi menjadi M sub selang

 waktu yang sama panjang. Dimana M adalah suatu

 nilai yang cukup besar, dengan titik bagi

 0=t_0∆t=T⁄M, sedangkan harga aset dasar pada saat ti 

adalah Si dengan i = 0,1,2,3,…,M. 

Asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut 

	Dalam selang waktu ∆t, harga saham S 

dapat naik menjadi Su atau turun menjadi Sd

dengan 0	Peluang harga saham naik p dan peluang 

harga saham turun 1-p, sehingga ekspektasi 

harga saham adalah

E[S_(i+1) ]=pS_i u+(1-p) S_i d	

	Ekspektasi return harga saham dengan 

tingkat bunga bebas resiko (risk-free interest rate)

 r adalah 

E[S_(i+1) ]=S_i e^r∆t	

			

C. Penentuan p, u, dan d

Dari asumsi di atas (i, ii, dan iii), terdapat tiga 

buah parameter masing-masing adalah p, u, dan d yang

 nilainya belum diketahui. Ketiga nilai parameter 

tersebut dapat diperoleh dari tiga persamaan.

Persamaan pertama diperoleh dengan menggunakan 

ekspektasi model binomial pada persamaan (2.1a)

 dengan model diskrit persamaan (2.1b) sehingga diperoleh

S_i e^r∆t=pS_i u+(1-p)S_i

atau

e^r∆t=pu+(1-p)	

dari persamaan (2.2) diperoleh

p=(e^r∆t-d)/(u- d)                                                                                                  (2.3)



Persamaan kedua diperoleh dengan menyamakan variansi model diskrit

Var[S_(i+1) ]=p〖(S_i u)〗^2+(1-p) (S_i d)^2-〖S_i〗^2 (pu+(1-p)d)^2		(2.4a)

dan variansi model kontinu

Var[S_(i+1) ]=S_i^2 e^((2r+σ^2)∆t)-S_i^2 e^2r∆t						(2.4b)

sehingga diperoleh

S_i^2 e^2r∆t (e^(σ^2 ∆t)-1)=p〖(S_i u)〗^2+(1-p) 〖(S_i d)〗^2-S_i^2 〖(pu+(1-p)d)〗^2

atau

e^((2r+σ^2)∆t)=p〖(u)〗^2+(1-p)〖(d)〗^2 						(2.5)

Persamaan ketiga diperoleh dengan menetapkan nilai u, d, dan p, misalkan ambil nilai u.d=1 dan p=1⁄2. Solusi untuk u.d=1 adalah

u=β+√(β^2-1)								(2.6a)

d=β-√(β^2+1)								(2.6b)

p=(e^r∆t-d)/(u-d)

dimana 

β=1/2 (e^(-r∆t)+e^(r+σ^2 )∆t ).

Sedangkan solusi untuk p=1⁄2 adalah

u=e^r∆t (1+√(e^(σ^2 ∆t)-1))							(2.7a)

d=e^r∆t (1-√(e^(σ^2 ∆t)-1))

p=1⁄2

Solusi untuk persamaan di atas dapat dicari 

dengan solusi persamaan kuadrat pada persamaan yang 

terbentuk. Selanjutnya dengan ekspansi 

Taylor yaitu e^x≈1+x+x^2/2 dan menghilangkan 

suku ∆t^n, n≥2 diperoleh solusi

u=e^(σ√∆t)                                                                                         

d= e^(-σ√∆t)                                                                                                  

p=(e^r∆t-d)/(u-d)

yang merupakan model CRR.



E. Metode Pohon Binomial untuk  Put Amerika

Kita ketahui bahwa nilai opsi dari put Amerika

 pada saat jatuh tempo adalah max(K-St, 0). 

Didefinisikan f_(i,j) adalah nilai dari opsi

 yang turun sebanyak i kali dan naik sebanyak j kali. 

Harga saham saat titik (i,j) adalah S_0 u^j d^(i-1) .

f_(N,j)=max⁡(K-S_0 u^j d^(i-j),0),j=0,1,2,…,i 

Probabilitas p untuk pergerakan dari titik (i, j) 

pada saat i∆t ke titik (i+1, j+1) pada saat (i+1)∆t, 

dan probabilitas (1-p) untuk pergerakan dari titik

 (i,j) pada saat i∆t ke titik (i+1,j) pada saat (i+1)∆t. 

Dengan asumsi bahwa aset bisa dieksekusi sebelum 

jatuh tempo sehingga dibentuk persamaan berikut

f_(i,j)=e^(-r∆t) [pf_(i+1,j+1)+(1-p)f_(i+1,j)]					(2.11)

untuk 0≤i≤N-1 dan 0≤j≤i. Pada saat pengeksekusian

 sebelum jatuh tempo, untuk nilai f_(i,j) harus 

dibandingkan dengan nilai yang ada dikontrak opsi.

 Sehingga diperoleh

f_(i,j)=max⁡{K-S_0 u^j d^(i-j),e^(-r∆t) [pf_(i+1,j+1)+(1-p)f_(i+1,j)]}		(2.12)