Materi Matematika Keuangan

A. Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang dibayarkan dari pinjaman (investasi) ditambahkan terhadap pokok pinjaman secara berkala. Bunga dapat dihitung dengan cara berikut untuk suatu interval tertentu bunga yang harus dibayar ditambah ke dalam pokok. Dalam hal ini bunga dikatakan bunga yang digabungkan pada pokok dan juga dikenakan bunga. Jadi pokok akan meningkat secara periodic dan bunga yang digabungkan kepada pokok juga bertambah secara periodic selama masa transaksi. Perbedaan antara jumlah majemuk(FV_n) dan pokok(P₀) dikatakan bunga majemuk.

Sistem bunga majemuk yang oleh fisikawan dunia Albert Enstein dianggap sebagai salah satu keajaiban dunia bekerja dengan cara memperbesar uang awal dengan bunga ber bunga tiap tanggal perhitungan bunga yang diperhitungkan selama jangka waktu tertentu.

Jumlah Majemuk

Misal diberikan pokok P₀ diinvestasikan dengan laju bunga i periode bunga, dan jumlah majemuk dari P₀ dinyatakan oleh FV_n pada akhir periode bunga. Karena P bertambah menjadi pi pada periode bunga pertama, jumlah keseluruhan menjadi P₀+Pi= P₀(1+i) pada akhir periode tersebut .Dengan kata lain jumlah mejemuk pada akhir periode bunga dan sebarang pokok dikalikan dengan factor (1 + i). Jadi pada akhir periode bunga yang kedua,jumlah P₀ (1+i)(1+i) = P₀ (1+i)²; pada akhir periode bunga ketiga P₀ (1+i)²(1+i)= P₀ (1+i)³ dan seterusnya. Berturut-turut jumlahnya :

P₀ (1+i),P₀(1+i)² , P₀ (1+i)³ ……………………….

Membentuk suatu deret geometri dengan suku ke n adalah:

FV_n = P₀ (1+i)ⁿ ……………………………………(1)

Factor (1+i)ⁿ dikatakan jumlah mejemuk dari (1) untuk laju bunga i per periode bunga untuk n periode bunga dan akan dikatakan sebagai jumlah majemuk dari (1) untuk i dan n yang diketahui.

Example:

Yamto mendepositokan uangnya di Bank BTN sebesar Rp.10.000.000,00. Jika tingkat bunga deposito sebesar 8% per tahun dukkan setiap tahun, maka berapa investasi Yamto pada akhir tahun ke-3?

Answer:

Tahun 1

FV₃= P₀(1+i)³

= 10.000.000(1+0,8)³

= 15.868.743

Nilai Sekarang(Present Value)

Present Value merupakan besarnya jumlah uang pada awal periode yang diperuntukkan atas tingkat bunga tertentu dari suatu jumlah uang yang baru akan diterima atau dibayarkan beberapa periode kemudian.

PV₀= atau P₀=

Dimana:

FV_n= Future Value (nilai masa depan)

PV₀= Present Value ( nilai sekarang)

P₀= Pinjaman pokok

N= jangka waktu

n= tingkat bunga per periode waktu dalam persen

Example:

Berapa jumlah sekarang yang dapat berkembang menjadi Rp.16.000.000,00 pada akhir tahun ke-5 dengan tingkat bunga majemuk 11%?

Answer:

P₀=

= 9.495.221 (pembulatan)

B. Diskonto Bank

Tingkat diskonto yang ditetapkan oleh dealer untuk surat berharga jangka pendek tanpa bunga, seperti surat berharga komersial (commercial paper) dan surat berharga pemerintah. Pada saat bank bersepakat untuk membayar surat berharga tersebut, Perbedaan antara jumlah yang dibayar oleh bank dengan nilai nominal surat berharga disebut diskonto.Tingkat diskonto yang dibebankan bank atas pinjaman diskonto (pinjaman yang diterima setelah dikurangi bunga),peminjam menerima nilai nominal surat berhanga dikurangi diskonto.

Diskonto Tunggal sebagai Laju Pertambahan Bunga

Nilai tunai M dari jumlah A yang dibayarkan di hari yang berlainan, dapat diinterpretasikan sebagai nilai diskonto dari A. Maka D= A-M dinamakan diskonto tunggal dari A pada suatu laju bunga atau diskonto sebenarnya dari A.

Example

Tentukan nilai tunai untuk bunga tunggal 6% dari Rp.1.500,00 yang harus dibayar dalam 9 bulan. Berapakah diskonto sebenarnya?

Answer

A= 1500, p= 0,06, w= ¾

maka dari A= M(1+pw)

M=

=

= 1.435,41

D= A-M

= 1500-1435,41

= 64,59

Jadi diskonto tunggalnya adalah Rp.64,59,00

Diskonto Tunggal sebagai Laju Pertambahan Diskonto

Laju pertambahan diskonto didefinisikan sebagai perbandingan antara diskonto yang diberikan dalam suatu unit waktu (di sini 1 tahun) terhadap sejumlah diskonto yang diberikan. Laju pertambahan diskonto tahunan dinyatakan sebagai prosentase.

Diskonto tunggal juga disebut bank diskonto D pada jumlah A untuk w tahun untuk laju diskonto p diberikan oleh:

D= Apw………(1)

Dan nilai tunai dari A diberikan oleh:

M=A-D=A-Apw= A(1-pw)……….(2)

Example

Tentukan diskonto tunggal pada hutang Rp.1.500,00 dalam jangka 9 bulan dengan laju diskonto 6 %.Berapakah nilai tunai dari hutang tersebut ?

Answer

A= 1.500, p=0,06 dan w= 3/4 maka:

D= Apw =1.500 (0,06 (3/4) ) = Rp.67,50 = diskonto tunggal.

M= A – D = 1.500 – 67,50= Rp.1.432,50 = nilai tunai.

Bandingkan contoh- contoh diatas, ini akan menunjukan bahwa bila diskonto digunakan, laju diskonto lebih sering digunakan dari laju bunga untuk memudahkan perhitungan. Untuk hal ini diskonto selalu digunakan. Bank diskonto sering juga disebut kemajuan bunga.

C. Anuitas Tentu

Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya, yang dibayarkan setiap akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Jika besarnya anuitas adalah A, angsuran periode ke-n dinyatakan dengan a_n, dan bunga periode ke-n adalah b_n, maka diperoleh hubungan:

A = a_n + b_n , n = 1,2,3,..

Menghitung anuitas

Dengan notasi sigma:

A = M

Contoh:

Pinjaman sebesar Rp 2.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas selama 3 tahun. Anuitas pertama dibayar satu tahun setelah penerimaan uang. Jika bunga diperhitungkan 15% setahun, besarnya anuitas adalah….

Jawab:

A = 2.000.000

= 2.000.000(0,4380)

= 876.000

Jadi besarnya anuitas = Rp 876.000,00

* Membuat tabel rencana pelunasan

Contoh1:

Pinjaman sebesar Rp 200.000,00 akan dilunasi dengan 4 anuitas bulanan . Anuitas pertama dibayar satu bulan setelah penerimaan uang. Jika bunga 3% sebulan, buatlah tabel rencana pelunasannya!

Jawab :

A = 200.000

= 200.000(0,2690)

= 53.800

Anuitas tentu menyediakan manfaat yang pasti jumlahnya kepada penerima anuitas. Selama jangka waktu pembentukan dana anuitas (jangka akumulasi) yang dilakukan oleh penerima anuitas, perusahaan asuransi menanamkan dana ini dalam perangkat investasi yang memberikan tingkat bunga yang pasti.

Karena anuitas ini memberikan jumlah manfaat yang tentu dan dijamin dibayarkan kepada penerima anuitas sepanjang hidupnya, anuitas ini dapat menawarkan keamanan dan ketenangan keuangan. Tetapi, jumlah manfaat ini tertentu dan tetap, maka penerima anuitas akan merasakan terjadinya penurunan daya beli akibat adanya laju inflasi.